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本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。

解：（I）由知。

又所以即

故

(II)由（I）得：

又由正弦定理，得：

所以

本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识。体现数学的科学价值。


 

  

  X
  
  

  1
  
  

  2
  
  

  3
  
 
 

  

  P
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
 


解：随机变量X的分布列是

 

 

 

X的均值。

附：X的分布列的一种求法

共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：


 

  

  ①
  
  

  ②
  
  

  ③
  
  

  ④
  
  

  ⑥        
  
  

  ⑥
  
 
 

  

  A－B－C－D
  
  

  A—B—C
  └D
  
  

  A—B—C
  └D
  
  

  A—B—D
  └C
  
  

  A—C—D
  └B
  
  

  
  
 


在情形①和②之下，A直接感染了一个人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了两个人；在情形⑥之下，A直接感染了三个人。

本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力。

解：（I）(综合法)连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足。

连接BG、DG。

由BD⊥AC,BD⊥CF,得：BD⊥平面ACF，故BD⊥AF.

于是AF⊥平面BGD,所以BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD为二面角B-AF-D的平面角。

由FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC=,OG=.

由OB⊥OG,OB=OD=,得∠BGD=2∠BGO=.



(向量法)以A为坐标原点，、、方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是

设平面ABF的法向量，则由得。

令得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF与平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）连EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共部分为四棱锥H-ABCD。

过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足。

因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，

从而

由得。

又因为

故四棱锥H-ABCD的体积

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

解：的定义域是(0,+),

设,二次方程的判别式.

①     当，即时，对一切都有.

此时在上是增函数。

②     当,即时，仅对有,对其余的都有,  此时在上也是增函数。

③     当，即时，

方程有两个不同的实根,,.


 

  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
  

  
  
 
 

  

  
  
  

  +
  
  

  0
  
  

  _
  
  

  0
  
  

  +
  
 
 

  

  
  
  

  单调递增↑
  
  

  极大
  
  

  单调递减↓
  
  

  极小
  
  

  单调递增↑
  
 


此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.

本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

解：（I）（方法一）由得代入椭圆,

得.

将代入上式,得从而

因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.

(方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得

即故P与Q重合。

（方法三）在第一象限内，由可得

椭圆在点P处的切线斜率

切线方程为即。

因此，就是椭圆在点P处的切线。

根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。

（II）的斜率为的斜率为

由此得构成等比数列。

本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。

解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，

则由递推关系得是奇数。

根据数学归纳法，对任何，都是奇数。

（II）（方法一）由知，当且仅当或。

另一方面，若则；若，则

根据数学归纳法，

综合所述，对一切都有的充要条件是或。

（方法二）由得于是或。



因为所以所有的均大于0，因此与同号。

根据数学归纳法，，与同号。

因此，对一切都有的充要条件是或。