本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。满分 14分。 解：（Ⅰ）设数列的公差为,由题意，得  

所以

因为

所以  

故公比

（Ⅱ）因为

所以 因此

本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分14分．

    (I)解：方程的两个根为．

当k＝1时，，所以；

当k＝2时，，所以；

当k＝3时，，所以；

当k＝4时，，所以；

因为n≥4时，，所以

（Ⅱ）＝．

解：

 (1) 由，                      ……2分

整理后，可得，，为整数，

不存在，使等式成立。                       ……5分

 (2) 解法一：若即，        （*）

（ⅰ）若，

当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。   ……7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴，矛盾。

综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。

……10分

解法二：设，若，对都成立，且为等比数列，

则，对都成立，即，

，对都成立，

                                    ……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，则（常数），即，则，矛盾

综上所述，，使对一切，       ……10分

 (3) ，

设

，

，，            ……13分

取，……15分

由二项展开式可得正整数，使得，



存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立。                            ……18分

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若为偶数，则为偶数，但为奇数。

故此等式不成立，一定为奇数。                         ……1分

当时，则，

而



当为偶数时，存在，使成立，                  ……1分

当时，则，

也即，，

由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分

当时，则，

也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，

故不是所有奇数都成立。                                        ……2分

解：由题设知，

则    ②

由②得，，，

因为，解得或．

当时，代入①得，通项公式；

当时，代入①得，通项公式．

（本小题12分）

解：（I）因a1=2,a2=2-2,故



由此有a1=2(-2)0, a2=2(-2)4, a3=2(-2)2, a4=2(-2)3,

从而猜想an的通项为

,

所以a2xn=.

(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。

   设Sn表示x2的前n项和，则a1a2…an=,由2≤a1a2…an＜4得

   ≤Sn＝x1+x2+…+xn＜2(n≥2).

因上式对n=2成立，可得≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥.

由于a1=2，(n∈N*),得(n∈N*),即

，

因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为的等比数列，故

xn+1+2xn=(x2+2) (n∈N*).

将上式对n求和得

Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1++…+)=(x2+2)(2－)（n≥2）.

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故

(x2+2)(2－)＜5（n≥2）.

因此2x2－1＜（n≥2）.

下证x2≤，若淆，假设x2＞，则由上式知，不等式

2n－1＜

对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤.

又x2≥，故z2=，所以a2=2=.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力.（满分14分）

(Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛an｝是等比数列，则有,即

（）2=2矛盾.

所以｛an｝不是等比数列.

（Ⅱ）证明：∵

                  =

又由上式知

故当数列｛bn｝是以为首项，为公比的等比数列.

（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是

       

         当时，，从而上式仍成立.

         要使对任意正整数n , 都有

          即

          令

          当n为正奇数时，当n为正偶数时，

           

           于是可得

           综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有

          的取值范围为

本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

解法1：（I）证：由，有， ．

（II）证：，

，，

．

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）得，，于是



                            

                            ．

当时，

                                                 ．

当时，

                                                 

                                                 ．

故

解法2：（I）同解法1（I）．

（II）证： ，又，

是首项为5，以为公比的等比数列．

（III）由（II）的类似方法得，

，

，．

．

下同解法1．